Wir sprechen jetzt über das Wiederholungsblatt und gehen einfach der

Reihenfolge nach den ganzen Aufgaben durch. Wir beginnen mit Aufgabe 1.

Hier geht es darum, dass wir folgenden Ausdruck hier einen Sinn geben wollen.

Also die Wurzel 2 hoch Wurzel 2 hoch Wurzel 2 usw.

Allerdings muss man sich das jetzt so geklammert vorstellen, denn das ist nicht

Wurzel 2 hoch Wurzel 2 hoch Wurzel 2 das wiederum Wurzel 2.

Denn wir wissen was das hier ist. Das können wir ja umschreiben nach der Potenz.

Das ist Wurzel 2 hoch Wurzel 2. Was ist das hoch Wurzel 2? Das ist Wurzel 2 mal Wurzel 2.

Wurzel 2 das kann man wieder reinzeichnen. Das ist jetzt hier Wurzel 2 hoch Wurzel 2.

Wurzel 2 und so weiter. Dieser Ausdruck hier ist quasi Wurzel 2 hoch Wurzel 2.

Wurzel 2 hoch N. Das wäre sozusagen, wenn man das N mal macht, dann hätten wir das jetzt hier Wurzel 2 hoch Wurzel 2 hoch N.

Und davon jetzt die Asymptotik sich anzuschauen, was besitzt für N gegründet.

Das ist halt nicht schnell zu sehen. Das hier geht gegenendlich für N gegründet.

Und dann geht auch das ganze hier gegenendlich. Also das ist sozusagen uninteressant.

Okay, also das hier ist deutlich interessanter.

Wobei das jetzt hier so geklammert zu verstehen ist. Und die Modellierung davon ist,

dass man immer eine Zahl nimmt und Wurzel 2 unterschiebt gewissermaßen.

Wir starten mit a0 gleich Wurzel 2. a1 ist gleich Wurzel 2 hoch a0. Also Wurzel 2 hoch Wurzel 2.

a2 ist Wurzel 2 hoch a1. Also Wurzel 2 hoch Wurzel 2 hoch Wurzel 2.

Und jetzt sehen wir schon, durch diese reko-sicher Relation, gegeben durch a1 plus a1 ist gleich Wurzel 2 aN.

Das hier liefert genau das, was wir uns hier vorstellen.

Jetzt schreiben wir einfach Wurzel 2 hoch Wurzel 2 hoch Wurzel 2 usw.

Definieren wir als den Grenzwert von aN. Für N gegenendlich, falls dieser existiert.

Okay, die Frage ist natürlich, ob der existiert. Das wissen wir noch überhaupt nicht.

Und wir haben aber ein Kriterium für Grenzwerte von reko-sieben Folgen.

Das haben wir als Vorlesung gesehen. Wir sind immer noch bei Aufgabe 1a.

Für reko-sieben Folgen vom Typ aN plus 1 ist gleich f von aN, wobei f irgendeine Funktion ist.

Es sollte zumindest stetig sein. Und da gilt, falls der Grenzwert von aN existiert,

so muss die Gleichung a gleich f von a erfüllen.

Das heißt jetzt noch nicht, dass Lösungen dieser Gleichung auch Grenzwerte von dieser Folge sind.

Aber sie sind zumindest eine notwendige Bedingung dafür. Das heißt, wir können Kandidaten dafür aufdecken.

Also wir wissen zumindest, wenn wir alle Lösungen dieser Gleichung gefunden haben,

dass ein Grenzwert, falls er existiert, wir müssen also auch noch die Existenz des Grenzwerts beweisen.

Also falls er existiert, dann wissen wir, dass er in dieser Länge der Lösungen steckt.

Jetzt überlegen wir uns, was das jetzt hier zu bedeuten hat. Was sind Lösungen von a ist gleich Wurzel 2 hoch a.

Und da gibt es verschiedene Möglichkeiten, es hier anzugehen. Wie könnte man das lösen?

Es gibt jetzt hier kein klares Verfahren. Es gibt keine Formel für solche Gleichungen.

Die sind typisch nicht auflösbar. Man kann sie blocken, man kann ein bisschen rumspielen.

Und man kann dann sehen, dass es zwei natürliche Zahlen gibt, die eine Lösung sind.

Nämlich erstens a gleich 2, weil 2 ist das gleiche wie Wurzel 2 hoch 2.

Das heißt hier a gleich 2 einzusetzen, das funktioniert. Und zweitens funktioniert auch a gleich 4.

Denn 4 ist das gleiche wie Wurzel 2 hoch 4.

Jetzt könnte man sich überlegen, sind das jetzt die einzigen Lösungen für diese Gleichungen?

Und das ist in der Tat der Fall. Das ist nicht super einfach zu zeigen. Das könnte man machen, aber das ist in dem Fall nicht so relevant.

Also wir begnügen uns damit, dass wir diese beiden Kandidaten gefunden haben.

Ich verrate Ihnen, das sind die einzigen Lösungen, die diese Gleichungen hat.

Die einzigen lösen wir jetzt praktischerweise beide natürlich. Das macht die interessant.

Und jetzt ist natürlich genau hier das Problem. Wir haben zwei Kandidaten gefunden.

Das heißt, wenn der Grenzwert existiert, dann muss er eine von beiden Zahlen sein.

Wir wissen aber noch nicht, wer er ist. Wir wissen auf jeden Fall, beide können es nicht sein, denn ein Grenzwert ist immer eindeutig.